Sabtu, 22 Juni 2013

makalah integral



BAB I
PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam dunia pendidikan ataupun dalam dunia kesehatan.
Namun disini saya tertarik untuk membahas tentang aplikasi kalkulus integral dalam dunia pendidikan yaitu dalam sains yang khususnya fisika yaitu arus listrik. Sehingga saya mengambil judul Aplikasi Kalkulus Integral dalam Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup dan Daya Listrik dalam Ruang.

B.     Batasan Masalah
Dalam makalah ini penulis hanya akan membahas tentang aplikasi integral dalam arus listrik dalam permukaan tertutup dan daya listrik dalam ruang yaitu secara spesifiknya hubungan dalam rumusnya saja.


C.    Perumusan Masalah
Adapun beberapa rumusan masalah dari makalah ini adalah:
1.      Bagaimana sejarah integral?
2.      Apa pengertian integral?
3.      Apa pengertian arus listrik?
4.      Apa pengertian daya listrik?
5.      Apakah hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik?

D.    Tujuan
Adapun tujuan dari makalah ini adalah:
1.      Sejarah integral
2.      Pengertian integral
3.      pengertian arus listrik
4.      Pengertian daya listrik
5.      Hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik











BAB II
PEMBAHASAN
A.    Sejarah Integral
Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaituzaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno. Beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yangmerupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali padaPapirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkanpemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan,  matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudianmengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awalturunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga danmenjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yangmenurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan denganmenggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untukmenurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat pentingterhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang PersiaSharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yangpenting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama denganmatematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosandalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teoremadasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnyadituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanyadilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiranini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebutdianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampirbersamaan.
Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil merekauntuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka.Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertamakali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya daricatatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newtonkepada beberapa anggota dari Royal Society.Pemeriksaan secara terperincimenunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulaidari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibnizdiberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. AdalahLeibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagaikalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu,banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembanganlebih lanjut dari kalkulus.Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA danuniversitas zaman modern.

B.     Pengertian Integral
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah \int \,, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

1.      Integral tertentu
Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
\int_a^b f(x)\,dx \, ,
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Riemann.gif/250px-Riemann.gif
http://bits.wikimedia.org/static-1.20wmf2/skins/common/images/magnify-clip.png
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
 a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!
Himpunan  P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval  [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] . Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i

Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi \lVert P \rVertmendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}di sepanjang [a,b] dengan \lVert P \rVert < \delta dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan
\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.
Secara matematis dapat kita tuliskan:
\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Contoh:
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu \int_0^b x\, dx, yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu \int_0^b x\, dxsebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah \lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_iPemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
 P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}dan t_i = \frac{ib}{n}, sehingga:
\begin{align}
  \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\
  &=  \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ 
\end{align}
Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi \lVert P \rVertmendekati 0, maka didapatkan:
\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}
Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
2.      Integral tak tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
\int f(x) dx = F(x) + C
Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang. Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x^2, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk \int_a^b f(x) dx adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :\int f(x) dx adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
C.    Pengertian Arus Listrik
Arus listrik adalah banyaknya muatan listrik yang disebabkan dari pergerakan elektron-elektron, mengalir melalui suatu titik dalam sirkuit listrik tiap satuan waktu. [1] Arus listrik dapat diukur dalam satuan Coulomb/detik atau Ampere. Contoh arus listrik dalam kehidupan sehari-hari berkisar dari yang sangat lemah dalam satuan mikroAmpere (\mu A) seperti di dalam jaringan tubuh hingga arus yang sangat kuat 1-200 kiloAmpere (kA) seperti yang terjadi pada petir. Dalam kebanyakan sirkuit arus searah dapat diasumsikan resistansi terhadap arus listrik adalah konstan sehingga besar arus yang mengalir dalam sirkuit bergantung pada voltase dan resistansi sesuai dengan hukum Ohm.
Arus listrik merupakan satu dari tujuh satuan pokok dalam satuan internasional. Satuan internasional untuk arus listrik adalah Ampere (A). Secara formal satuan Ampere didefinisikan sebagai arus konstan yang, bila dipertahankan, akan menghasilkan gaya sebesar 2 x 10-7 Newton/meter di antara dua penghantar lurus sejajar, dengan luas penampang yang dapat diabaikan, berjarak 1 meter satu sama lain dalam ruang hampa udara.
Arus listrik adalah perbandingan jumlah muatan(Q) yang mengalir pada suatu titik dalam penghantar dengan waktu (t) yang ditempuhnya.
 
            I = Q/t
I = arus listrik (Ampere)
Q = muatan yang dipindahkan
      (Coulomb)
t = waktu (detik)
1 A = 1 Coulomb/detik  

Jika terjadi perubahan aliran muatan (aliran muatan tidak konstan, berubah-ubah), maka arus listrik yang mengalir adalah :
            I = dQ/dt
I = arus listrik (Ampere)
dQ = perubahan aliran muatan (Coulomb)
dt = perubahan waktu (detik)


D.    Pengertian Daya Listrik
Daya listrik didefinisikan sebagai laju hantaran energi listrik dalam rangkaian listrik. Daya listrik, seperti daya mekanik, dilambangkan oleh huruf P. Satuan SI yang dipakai adalah watt. Arus listrik yang mengalir dalam rangkaian dengan hambatan listrik menimbulkan kerja. Peranti mengkonversi kerja ini ke dalam berbagai bentuk yang berguna, seperti panas (seperti pada pemanas listrik), cahaya (seperti pada bola lampu), energi kinetik (motor listrik), dan suara (loudspeaker). Listrik dapat diperoleh dari pembangkit listrik atau penyimpan energi seperti baterai.
E.     Hubungan Integral dengan Arus dan Daya Listrik
Ternyata hubungan integral dengan arus dan daya listrik yaitu berkataian dalam rumusnya dalam permukaan yang tertutup dan dalam rangan. Dan disini kita akan membahasnya yaitu:
1.      Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup
Arus yang mengalir dalam suatu permukaan tertutup dengan kerapatan arus J dapat ditentukan dengan perhitungan integral tertutup :


 


I = arus listrik dalam permukaan tertutup (A)
J = kerapatan arus (A/m2)
dA = komponen diferensial permukaan.
2.      Perumusan daya listrik dalam ruang
Dalam kasus umum, persamaan P = VI harus diganti dengan perhitungan yang lebih rumit, yaitu integral hasil kali vektor medan listrik dan medan magnet dalam ruang tertentu:
\mathbf{P} = \int_S \mathbf{E} \times \mathbf{H} \cdot \mathbf{dA} \,
Hasilnya adalah skalar, karena ini adalah integral permukaan dari vektor Poynting.

















BAB III
PENUTUP
A.    Kesimpulan
Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus tersebut mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Dan cabang-cabang dari kalkulus ini mempunyai banyak aplikasi baik dalam kehidupan sehari, dalam dunia pendidikan ataupun kesehatan.
Seperti yang dibahas dalam makalah ini ternyata integral memiliki aplikasi dalam dunia pendidikan sains yaitu dalam bidang fisika arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang.

B.     Saran
Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami aplikasi integral dalam bidang fisika yait dalam arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang. Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.













DAFTAR PUSTAKA
Arus Listrik. Tim Olimpiade Fisika Indonesia. Diakses pada 28 April 2010.
http://id.wikipedia.org/wiki/Daya_listrik diunduh pada 08 juni 2012      


Tidak ada komentar:

Poskan Komentar