BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus,
artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret
takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu
mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu
mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus
memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat
memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus
memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus
integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran
kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih
tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara
umum dinamakan analisis
matematika.
Karena kalkulus ini mempunyai dua
cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya.
Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak
aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam dunia pendidikan ataupun
dalam dunia kesehatan.
Namun disini saya tertarik untuk
membahas tentang aplikasi kalkulus integral dalam dunia pendidikan yaitu dalam
sains yang khususnya fisika yaitu arus listrik. Sehingga saya mengambil judul
Aplikasi Kalkulus Integral dalam Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup dan Daya
Listrik dalam Ruang.
B. Batasan
Masalah
Dalam makalah ini penulis hanya akan
membahas tentang aplikasi integral dalam arus listrik dalam permukaan tertutup
dan daya listrik dalam ruang yaitu secara spesifiknya hubungan dalam rumusnya
saja.
C. Perumusan
Masalah
Adapun beberapa rumusan masalah dari
makalah ini adalah:
1. Bagaimana sejarah integral?
2. Apa pengertian integral?
3. Apa pengertian arus listrik?
4. Apa pengertian daya listrik?
5. Apakah hubungan integral dengan arus
listrik dan daya listrik?
D. Tujuan
Adapun tujuan dari makalah ini
adalah:
1. Sejarah integral
2. Pengertian integral
3. pengertian arus listrik
4. Pengertian daya listrik
5. Hubungan integral dengan arus
listrik dan daya listrik
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Sejarah Integral
Hitung integral merupakan metode
matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik
matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan
matematika hitung integral.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik
pada beberapa periode zaman, yaituzaman
kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno.
Beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan
dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yangmerupakan fungsi
utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali padaPapirus Moskwa Mesir
(c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume
piramida terpancung. Archimedes mengembangkanpemikiran ini lebih jauh dan menciptakan
heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman
pertengahan, matematikawan India, Aryabhata,
menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan
masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini
kemudianmengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awalturunan yang mewakili perubahan yang
sangat kecil tak terhingga danmenjelaskan bentuk awal dari "Teorema
Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen)
menjadi orang pertama yangmenurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat
empat, dan denganmenggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode
untukmenurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat
pentingterhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang
PersiaSharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil
yangpenting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama
denganmatematikawan-astronom dari mazhab
astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret
Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman
modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh
matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosandalam
kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teoremadasar
kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnyadituduh
menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,namun
sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanyadilakukan
secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiranini bersama
sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebutdianggap sebagai penemu
kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampirbersamaan.
Newton
mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz
mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika
Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil merekauntuk pertama kali, timbul
kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang
lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka.Newton menurunkan
hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertamakali
mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya
daricatatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newtonkepada beberapa anggota dari Royal Society.Pemeriksaan
secara terperincimenunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah,
dengan Leibniz memulaidari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik
Newton dan Leibnizdiberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara
terpisah. AdalahLeibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini
sebagaikalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of
fluxions". Sejak itu,banyak matematikawan yang memberikan kontribusi
terhadap pengembanganlebih lanjut dari kalkulus.Kalkulus menjadi topik yang
sangat umum di SMA danuniversitas zaman
modern.
B.
Pengertian Integral
Integral
merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas
wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu
fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi
menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika
yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf
S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti
penjumlahan).
1. Integral tertentu
Diberikan suatu
fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis
real, integral tertentu:
secara informal
didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh
kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x
= b.
Pada notasi
integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas
atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang
akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah
variabel pengintegralan.
Seiring dengan
semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang
diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah
kurva.
Terdapat
berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling
umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral
Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah
kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada
interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut,
interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang
lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1,
x2, x3,..., xn - 1}
antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
Himpunan tersebut kita
sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b]
menjadi sejumlah n subinterval . Lebar
subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan
sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita
nyatakan sebagai Δxi = xi - xi
- 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang
dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti.
Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang
lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai
menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada
kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan
mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan
menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Penjumlahan Sp
disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b].
Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil
penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita
inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol,
maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat,
definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x)
sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b].
Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ
di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari
penjumlahan Riemann apabila kondisi
berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah
bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk
setiap partisi di sepanjang [a,b]
dengan dan pilihan ti
apapun pada [xk - 1, ti], kita
dapatkan
Secara
matematis dapat kita tuliskan:
Apabila
tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar
Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita
tulis sebagai:
Limit ini
selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang
ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Contoh:
Sebagai
contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari
luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b],
b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit
dari penjumlahan Riemannnya adalah Pemilihan
partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan
nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita
memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n
subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n
dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap
subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
dan , sehingga:
Seiring dengan n
mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0,
maka didapatkan:
Dalam
prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral
tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan
cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
2.
Integral tak
tentu
Manakala
integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan
mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval
tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan
bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah
apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif
sebuah fungsi ƒ adalah integral
tak tentu ataupun primitif
dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ekspresi F(x)
+ C adalah antiderivatif umum
ƒ dan C adalah konstanta sembarang. Misalkan
terdapat sebuah fungsi , maka integral
tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
Perhatikan
bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu
dalam bentuk adalah sebuah
bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah
fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
C.
Pengertian Arus Listrik
Arus listrik adalah banyaknya muatan listrik yang
disebabkan dari pergerakan elektron-elektron, mengalir melalui suatu titik
dalam sirkuit
listrik tiap satuan waktu. [1] Arus listrik
dapat diukur dalam satuan Coulomb/detik atau Ampere. Contoh arus
listrik dalam kehidupan sehari-hari berkisar dari yang sangat lemah dalam
satuan mikroAmpere () seperti di
dalam jaringan tubuh hingga arus yang sangat kuat 1-200 kiloAmpere (kA) seperti
yang terjadi pada petir. Dalam
kebanyakan sirkuit arus
searah dapat diasumsikan resistansi terhadap arus
listrik adalah konstan sehingga besar arus yang mengalir dalam sirkuit
bergantung pada voltase dan resistansi
sesuai dengan hukum
Ohm.
Arus listrik
merupakan satu dari tujuh satuan pokok dalam satuan internasional. Satuan
internasional untuk arus listrik adalah Ampere
(A). Secara formal satuan Ampere
didefinisikan sebagai arus konstan yang, bila dipertahankan, akan menghasilkan gaya sebesar 2 x 10-7
Newton/meter di antara dua
penghantar lurus sejajar, dengan luas penampang yang dapat diabaikan, berjarak
1 meter satu sama lain dalam ruang hampa udara.
Arus listrik adalah perbandingan
jumlah muatan(Q) yang mengalir pada suatu titik dalam penghantar dengan waktu
(t) yang ditempuhnya.
|
I = arus listrik (Ampere)
Q = muatan yang dipindahkan
(Coulomb)
t = waktu (detik)
1 A = 1 Coulomb/detik
Jika
terjadi perubahan aliran muatan (aliran muatan tidak konstan, berubah-ubah),
maka arus listrik yang mengalir adalah :
I = dQ/dt
I
= arus listrik (Ampere)
dQ
= perubahan aliran muatan (Coulomb)
dt
= perubahan waktu (detik)
D.
Pengertian
Daya Listrik
Daya listrik didefinisikan sebagai
laju hantaran energi listrik dalam rangkaian listrik. Daya listrik, seperti
daya mekanik, dilambangkan oleh huruf P. Satuan SI yang dipakai adalah watt.
Arus listrik yang mengalir dalam rangkaian dengan hambatan listrik menimbulkan
kerja. Peranti mengkonversi kerja ini ke dalam berbagai bentuk yang berguna,
seperti panas (seperti pada pemanas listrik), cahaya (seperti pada bola lampu),
energi kinetik (motor listrik), dan suara (loudspeaker). Listrik dapat
diperoleh dari pembangkit listrik atau penyimpan energi seperti baterai.
E.
Hubungan
Integral dengan Arus dan Daya Listrik
Ternyata
hubungan integral dengan arus dan daya listrik yaitu berkataian dalam rumusnya
dalam permukaan yang tertutup dan dalam rangan. Dan disini kita akan
membahasnya yaitu:
1. Arus
Listrik dalam Permukaan Tertutup
Arus yang mengalir
dalam suatu permukaan tertutup dengan kerapatan arus J dapat ditentukan
dengan perhitungan integral tertutup :
I
= arus listrik dalam permukaan tertutup (A)
J
=
kerapatan arus (A/m2)
dA
= komponen diferensial permukaan.
2.
Perumusan
daya listrik dalam ruang
Dalam kasus umum, persamaan P
= VI harus diganti dengan perhitungan yang lebih rumit, yaitu integral
hasil kali vektor medan listrik dan medan magnet dalam ruang tertentu:
Hasilnya adalah skalar, karena ini
adalah integral permukaan dari vektor Poynting.
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Dari makalah diatas dapat kita ambil
kesimpulan bahwa kalkulus tersebut mempunyai cabang utama yaitu kalkulus
differensial, dan kalkulus integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas
dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Dan
cabang-cabang dari kalkulus ini mempunyai banyak aplikasi baik dalam kehidupan
sehari, dalam dunia pendidikan ataupun kesehatan.
Seperti yang dibahas dalam makalah
ini ternyata integral memiliki aplikasi dalam dunia pendidikan sains yaitu
dalam bidang fisika arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam
ruang.
B.
Saran
Semoga penulis dan pembaca dapat
mengetahui dan memahami aplikasi integral dalam bidang fisika yait dalam arus
dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang. Jika
ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau
saran dari pembaca.
DAFTAR
PUSTAKA
Arus
Listrik. Tim Olimpiade
Fisika Indonesia. Diakses pada 28 April 2010.
http://id.wikipedia.org/wiki/Daya_listrik diunduh pada 08
juni 2012
http://henryranu.files.wordpress.com/2007/12/arus-dan-tegangan.pdf
diunduh pada tanggal 08
juni 2012